证明：当x=1时，显然所证成立．
当x≠1时，令f(x)=x-ln2x+2k lnx-1(x>0)，求导得
令g(x)=x-2ln x+2k，求导得
g'(x)=1-
.
令g’(x)=0，得驻点x=2．
①当0
g(x)>g(1)=1+2k≥l+2(ln 2—1)=2ln 2—1>0．
因此f’(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，故f(x)
在(0，1)上，由x-1<0，f(x)<0，可得
(x-1)(x-1n2x+2k lnx-1)>0．
②当x>1时，可知当1
2时，g' (x)>0．
因此g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，则
g(x)>g(2)=2—2ln 2+2k≥2—2ln 2+2(ln 2—1)=0．
因此f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)>f(1)=0．
在(1，+∞)上，由x-1>0，f(x)>0，可得
(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)>0．
综上所述，当x>0时，不等式(x-1)(x—ln2x+2k ln x-1)≥0恒成立．
